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analisi quantitativa ] [evoluzione temporale dell'energia
]
[ riferimenti ]
Il
pendolo di Wilberforce è un dispositivo che è stato spesso usato in
dimostrazioni in aula per mostrare il sorprendente fenomeno
dell’accoppiamento tra oscillazioni torsionali e longitudinali
in un sistema massa-molla che produce battimenti.
L’effetto sorprendente consiste nel fatto che ad un
osservatore lontano (che non nota l’oscillazione torsionale)
sembra che l’oscillazione verticale dapprima si smorzi
fino a cessare, poi, senza intervento esterno prende a crescere
nuovamente come se fosse spinto da una invisibile forza.
Questo
dispositivo ha stuzzicato la curiosità di
molti (tra cui il famoso Arnold Sommerfeld, che ne ha fornito
una
esauriente trattazione teorica).
 Nell’ambito
del progetto IRDIS si è realizzato un prototipo di
pendolo di Wilberforce analizzabile mediante due sensori
connessi tramite una interfaccia ad un calcolatore: sonar
(per la misura della traslazione verticale)
e sensore di rotazione ottico senza contatto (per la misura
della rotazione
della massa).
Il
sensore di rotazione senza contatto sfrutta la modulazione
di intensità di un raggio di luce polarizzata (emesso
da un LED posto dietro un polarizzatore) e rivelato da un
fotodiodo dopo esser stato riflesso da un secondo polarizzatore
solidale con la massa rotante.
Analisi
quantitativa
Un
esempio di registrazione di angolo di rotazione e di spostamento
verticale ottenuti pilotando l’interfaccia CBL con
una calcolatrice grafica TI89 è mostrato
in figura:
angolo |
elongazione |
spazio delle fasi |
Graficando l’angolo di rotazione in funzione dello
spostamento si vede che lo sfasamento tra le due grandezze
varia, ricoprendo una porzione dello spazio delle fasi.
Un secondo esempio di registrazione ottenuto con Personal
Computer, interfaccia LabPro pilotata da software
LoggerPro:
Angolo ed elongazione in funzione del tempo
E’ evidente dai grafici che l’oscillazione verticale
(grafico in rosso) pian piano si attenua, mentre inizia a
crescere quella rotazionale (grafico in blu); poi il processo
si inverte e l’ampiezza della rotazione cala mentre
l’elongazione verticale cresce. Si osserva cioè
un battimento tra i due tipi di oscillazione, con energia
totale associata al moto che passa da un oscillatore all’altro
(nel caso qui descritto ogni 18 secondi circa).
Questo trasferimento di energia può avvenire in modo
completo solo se il periodo di oscillazione torsionale uguaglia
il periodo della oscillazione traslazionale (qui circa 0.56
secondi), altrimenti le ampiezze di oscillazione e di traslazione
variano nel tempo ma non si annullano del tutto in modo periodico.
Evoluzione temporale dell'energia
L’energia di ciascun tipo di oscillazione è
la somma di un termine cinetico e di un termine potenziale
elastico
L’energia associata alla traslazione è:
Et=(m/2)n2+(k/2)z2
(ove m è la massa, v la
velocità,
k la costante elastica , e z
lo spostamento verticale dalla posizione di equilibrio)
Quella associata alla rotazione è:
Er=(I/2)w2+(d/2)a2
(ove I è il momento di inerzia della massa, w la velocità
angolare, d la costante di torsione e a l’accelerazione
angolare)
L’energia totale vale quindi
E=
Et+Er=(m/2)n2+(k/2)z2+Er=(I/2)w2+(d/2)a2
=
(m/2)[ n2+(k/m)
z2]+(I/2)[ w2+(d/I)
a2]
Per tracciare l’evoluzione temporale
dei vari termini serve conoscere i valori delle 4 costanti
m,k,I,d.
Per misurare la massa basta usare una bilancia.
Per calcolare k si può misurare l’allungamento
della molla soggetta alla forza peso dovuta alla massa. Il
momento di inerzia rispetto all’asse di un cilindro
pieno si calcola facilmente:
I=mR2/2.
Il valore della costante di torsione si può
calcolare dalla relazione che fornisce la pulsazione w=1/T
dell’oscillatore torsionale : w2=d/I,
ovvero d=I/(T/2p)2.
Una misura più accurata del momento di
inerzia Ixper
una massa che abbia una geometria non esattamente cilindrica
si può ottenere utilizzando una doppia misura del periodo:
una con la massa da sola, ed una aggiungendo un toro cilindrico
di massa e dimensioni note (e quindi con momento di inerzia
In calcolabile esattamente).
I due periodi misurati obbedisconono alle relazioni (T1/2p)2
= Ix/d ,
(T2/2p)2
= (Ix+In)/d
Quindi, dividendo membro a membro si ottiene:
(T2/
T1)2=1+In/ Ix
, e infine
Ix=
In T12 /( T22
- T12).
Riferimenti
U. Köpf : Wilberforce’s pendulum
revisited, Am.J.Phys. 58, 833 (1990), R.E.Berg,
T.S. Marshall:
Wilberforce pendulum oscillations and normal modes, Am.J.Phys. 59,
32 (1991)
F.G.Karioris, Wilberforce pendulum, demonstration
size: The Phys. Teacher 31 ,
314 (1993)
A. Sommerfeld, Mechanics of deformable
bodies: lectures on theoretical physics II, Academic, New York, 1964.
E. Debowska, S. Jakubowicz, Z. Mazur: Computer
visualization of the beating of a Wilberforce pendulum Eur.
J. Phys.,
20, 89 (1999)
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