Il pendolo di torsione

Nella figura è rappresentata una sottile verga metallica che all’estremità superiore è solidamente ancorata ad un supporto fisso, mentre, all’estremità inferiore è collegata al centro di massa di un disco rigido di raggio R. Sul perimetro del disco è avvolto un filo che dopo essere passato nella gola di una carrucola termina con un cappio al quale può essere applicato un peso F. Sul disco, quindi, agisce un momento di rotazione.

M = F R

Sotto l’azione di questo momento, il filo si torce ed esercita di conseguenza sul disco un momento eguale ed opposto - M , che tende a riportarlo nella posizione iniziale. Se l’angolo di torsione d non è troppo grande, l’esperienza dimostra che il momento di richiamo è proporzionale allo spostamento angolare.Cioè:

M = - K d

dove K è una costante che dipende dalle prorpietà geometriche Fig. e fisiche della verga e viene definita costante di torsione. Se, una volta ritorta la verga, viene meno il momente torcente, il sistema ritorna in equilibrio dopo aver compiuto alcune oscillazioni in modo del tutto analogo alle oscillazioni del pendolo elastico già studiato nella scheda M-11. Anche l’espressione del periodo risulta simile, come qui di seguito viene mostrato.

Periodo del pendolo elastico
Periodo del pendolo di torsione

Alla massa m corrrisponde il momento d’inerzia I e alla costante di allungamento k corrisponde la costante di torsione K. Molti strumenti da laboratorio sfruttano oscillazioni di torsione. Potrai approfondire la loro conoscenza con la seguente esperienza.

[materiale occorrente] [predisposizione e acquisizione] [domande]

Materiale occorrente

apparecchio per lo studio delle oscillazioni armoniche
base a treppiede
asta metallica 50 cm
morsetto
dinamometro 5 N
sensore di distanza
calcolatrice grafica TI-89
interfaccia CBL2

 

Predisposizione e acquisizione

1
  • Allestisci l’apparecchiatura illustrata in figura disponendo tra i due morsetti la verga di acciaio avente il diametro di 2 mm.

  • Agendo sui godroni che lo sostengono, regola la posizione del morsetto superiore in modo che la verga sia tesa in modo corretto.
  • All’alberino di cui è provvisto il morsetto inferiore applica l’asta metallica lunga L = 50 cm e stringi bene il godrone di fissaggio.
  • Regola infine la posizione dell’indice in modo che, a riposo, si trovi sullo zero del goniometro.

2

Prepara una cordicella lunga circa 20 cm con due cappi all’estremità. Mediante un dinamometro avente un fondo scala di 5N, oppure utilizzando il sensore di forza, applica all’ estremità dell’asta una forza F tale da far ruotare il sistema di un angolo d, ad esempio di 45° cioè di p/4 rad. Controllato che la cordicella sia perpendicolare all’asta, leggi sullo strumento l’intensità della forza F.
3

Se misuri la massa m della verga, puoi valutare il suo momento d’inerzia rispetto all’asse perpendicolare che passa per il suo centro di massa G, con la formula I0 = 1/12 m L2. Dopo aver misurato la sua massa m’ , applica ad una estremità dell’asta il piattello provvisto di clip. Calcola il suo momento d’inerzia I’ = m’ (L/2)2 . Il momento d’inerzia totale del sistema oscillante risulta essere:

I = 1/12 m L2 + m’ (L/2)2

Disponi adesso il sonar ad una distanza di 50 cm dal piattello, come è mostrato in figura.
4

Collega il sonar al sistema di acquisizione e avvia il programma PHYSICS.

  • Nel MENU PRINCIPALE seleziona PREDISPOSIZIONE SONDE;
  • nel menu NUMERO DI SONDE seleziona UNO;
  • nel menu SCELTA SONDE seleziona sonar e poi CALIBRAZIONE PREDEFINITA.

Quando riappare il menu principale,

  • premi il tasto 5: AZZERAMENTO e,
  • nel menu SCELTA CANALE, seleziona SONAR.

A questo punto nella schermata che segue sei invitato a premere il tasto +, ma prima di eseguire questo comando, verifica che il piattello sia fermo. Con questa serie di operazioni otterrai che l’elongazione del piattello sia positiva quando si allontana e negativa in caso contrario.

Nel menu principale riapparso dopo aver premuto il tasto +, digita ACQUISIZIONE DATI e poi procedi come al solito con le seguenti opzioni

  • intervallo tra campionamenti: 0,1s
  • campionamenti: 50.

Procedi fino a quando il sistema di acquisizione non sia pronto.

 
5

Imprimi al piattello un piccolo spostamento (2-3 cm), in modo che oscilli e, subito dopo avvia l’acquisizioine dei dati premendo il tasto ENTER. Otterrai tre grafici come quelli mostrati in figura.

 

 
6

Misura con una bilancia la massa m’’ dei due cilindri forniti in corredo all’apparecchio. Disponili quindi all’estremità dell’asta metallica e fissali mediante i volantini di cui sono forniti. (Fig. ). Adesso il momento d’inerzia del sistema oscillante è:

I’ = 1/12 m L2 + 2 m’’ (L/2)2

Calcola questo nuovo momento d’inerzia e ripeti la precedente esperienza. Dal grafico della distanza valuta il periodo di oscillazione T’. Poichè conosci la costante di torsione puoi, mediante la formula inversa, ricavare il valore del momento d’inerzia e confrontarlo col valore teorico.

A questo punto è interessante sapere da quali parametri dipende la costante di torsione di una verga.
In questo apparecchio tu hai a disposizione quattro verghe, e precisamente:

  • una verga di acciaio avente la lunghezza di 60 cm e il diametro di 2 mm;
  • una verga di acciaio avente la lunghezza di 60 cm e il diametro di 3 mm;
  • una verga di acciaio avente la lunghezza di 30 cm e il diametro di 2 mm;
  • una verga di ottone avente la lunghezza di 60 cm e il diametro di 2 mm.

Ripetendo le precedenti prove con verghe diverse e misurando ogni volta il periodo di oscillazione a parità di momento d’inerzia del sistema oscillante, potrai verificare che:

  • la costante di torsione è proporzionale alla quarta potenza del raggio r della verga;
  • la costante di torsione è inversamente proporzionale alla lunghezza l della verga;
  • la costante di torsione dipende dal materiale di cui è fatta la verga.

Cioè:

La costante g, che caratterizza il materiale con cui è fatta la verga, viene definita modulo di torsione.

 

Domande

  1. Quanto vale il momento torcente M applicato alla verga di acciaio ?
  2. Quanto vale la costante di torsione K della verga ?
  3. Qual è l’unità di misura della costante K ?
  4. Di che tipo è il movimento del sistema ?
  5. Quanto vale il periodo T delle oscillazioni ?
  6. Utililizzando la formula inversa del periodo esposta all’inizio della scheda, ricava la costante di torsione K e confronta questo valore dinamico con quello ottenuto in precedenza in modo statico.