Il rotolamento

Scopo di questa esperienza è mettere in evidenza le principali caratteristiche del moto di cilindri e sfere che rotolano lungo un piano inclinato, o all’interno di guide a forma di U, appoggiate ad un piano inclinato. Verrà chiaramente mostrato come l’accelerazione dei diversi corpi dipende dal modo con cui la loro massa è distribuita rispetto all’asse di istantanea rotazione, cioè dipende dal loro momento d’inerzia rispetto a tale asse. Quando un cilindro o una sfera rotolano su un piano, l’asse di istantanea rotazione è la retta i che passa per il punto in cui il corpo tocca il piano di rotolamento ed è perpendicolare alla direzione del moto.

Il teorema di Steiner-Huygens stabilisce che il momento d’inerzia I di un cilindro o di una sfera che rotolano su un piano è eguale alla somma del momento d’inerzia baricentrale I0 , cioè il momento d’inerzia rispetto alla retta parallela ad i e passante per il baricentro del corpo, più il prodotto della loro massa m per il quadrato del raggio r. In tabella vi sono i momenti d’inerzia di tre corpi.
Cioè:
I = I0 + mr2
  

Tipo di corpo
Momento d’ inerzia baricentrale
Momento d’ inerzia rispetto alla retta i
Cilindro pieno
guscio cilindrico
Sfera piena

 

[materiale occorrente] [predisposizione e acquisizione] [domande] [variante]

Materiale occorrente

piano del movimento
kit per lo studio del rotolamento
sensore di distanza
calcolatrice grafica TI-89
interfaccia CBL2

 

Predisposizione e acquisizione

1

Allestisci l’apparecchiatura mostrata in figura.

Disponi il piano in modo che la superficie superiore sia quella di materiale plastico e che la sua altezza massima sia di 10 cm. Con una bilancia misura la massa dei vari corpi che utilizzerai nell’esecuzione dell’esperienza e con un regolo misura i loro raggi. Prendi nota delle misure ottenute.
2

Collega il sensore all’interfaccia e, dopo aver avviato il programma PHYSICS, esegui il monitoraggio delle distanze, utilizzando come corpo di prova il cilindro di PVC. Metti poi il sistema in condizione di acquisire i dati (GRAFICO Vs TEMPO) con le seguenti opzioni

  • intervallo tra campionamernti: 0,1s
  • campionamenti: 20.

Procedi fino a quando il sistema è pronto ad acquisire i dati.


 

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Un compagno dovrà tenere fermo con un dito il cilindro ad una distanza di circa 45 cm dal sonar. Premendo il tasto ENTER dai inizio all’acquisizione e, non appena inizia il ticchettio dell’interfaccia, il tuo collaboratore dovrà togliere la mano e allontanarsi, facendo attenzione a non imprimere scosse al cilindro.. Otterrai tre grafici come quelli mostrati in figura.



Calcola il momento d’inerzia I del cilindro rispetto all’asse di istantanea rotazione.
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Accosta al cilindro di PVC il cilindro di alluminio avente eguale raggio. Mediante un righello trattienili in posizione parallela alla sommità del piano. Allontanando rapidamente il righello, potrai notare che il cilindro di alluminio sopravanza lievemente quello di PVC giungendo un istante prima a fine piano.
Ripeti la precedente operazione utilizzando i due cilindri di alluminio aventi diversi sia la massa che il raggio. Anche in questo caso noterai che il cilindro con raggio maggiore sopravanza l’altro.

La piccola differenza dei risultati sperimentali rispetto alla previsione teorica suggerisce che l'attrito sia minore per il cilindro più leggero a parità di raggio, e in generale per i cilindri di raggio maggiore rispetto a quelli di raggio minore, e che quindi tale tipo di attrito sia inversamente proporzionale al raggio e proporzionale alla forza di contatto tra cilindro e piano.
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Ripeti la precedente operazione utilizzando il cilindro e il guscio cilindrico di alluminio aventi lo stesso raggio.

Potrai notare che il cilindro sopravanza notevolmente il guscio cilindrico, dimostrando di avere un’ accelerazione traslatoria molto superiore. Fornisci del fenomeno una spiegazione e verifica la tua interpretazione misurando l’accelerazione del guscio cilindrico mediante il sensore di distanza.

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Se ora metti a confronto il rotolamento di due palle da biliardo con massa e raggio diversi, potrai verificare che anche per le sfere l’accelerazione traslatoria è sostanzialmente indipendente da queste due grandezze e quindi è possibile applicare al rotolamento di una sfera tutte le conclusioni acquisite per un cilindro.
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  • Metti sul piano inclinato una guida a forma di U e disponi su di essa una palla;
  • metti l’altra palla sul piano, parallelamente alla prima,
  • falle partire contemporaneamente.

Noterai che la palla che rotola sul piano ha un’accelerazione notevolmente superiore a quella che rotola sulla guida.

Ora fai in modo che la guida a forma di U sia allineata con il bordo inferiore del piano del movimento e, a diretto contatto, disponi la tavoletta ricoperta di gomma, facendo in modo che vi sia continuità.

Se fai rotolare una palla sulla guida, noterai che passando sul piano di gomma essa accelera bruscamente.

 

Domande

  1. Calcola la forza motrice F che fa rotolare il cilindro sul piano (F è la componente tangenziale del peso P = mg lungo il piano inclinato),e il suo momento M = F r rispetto all’asse di istantanea rotazione.
  2. Calcolal'accelerazione angolare prevista dalla teoria, data dal rapporto a1 = M / I
  3. Confronta il valore dell’accelerazione angolare a2 = a / r, ottenuta dalla accelerazione traslatoria a (misurata dai grafici) con il valore previsto dalla teoria. Perché risulta a2 < a1 ?
  4. Se viene indicata F’ la forza di attrito volvente l’equazione del moto rotatorio è ( F - F’ ) r = a I. Da tale relazione ricava una stima della forza di attrito volvente F’ .
  5. Dal secondo grafico puoi ricavare il valore della massima velocità traslatoria v acquistata dal cilindro a fine corsa (w = v / r ) e quindi le variazioni della sua energia cinetica traslazionale
    (D Kt = 1/2 m v2) e rotazionale (D Kr = 1/2 I0 w 2 ).
  6. Dal grafico della distanza puoi ricavare la lunghezza l della traiettoria descritta dal cilindro lungo il piano inclinato e quindi la variazione dell’altezza h del baricentro del cilindro. Calcola la variazione di energia potenziale DU = m g h.
  7. Per quale motivo risulta D Kt + D Kr < DU ?
  8. Se il cilindro invece di rotolare dovesse scivolare lungo il piano con attrito trascurabile con quale velocità v0 arriverebbe sul fondo ? quale sarebbe la sua accelerazione traslatoria a0 ? impiegherebbe più o meno tempo?

 

Variante

Con la precedente esperienza ti sei reso conto che se un cilindro rotola su un piano inclinato, parte dell’energia iniziale si trasforma in energia cinetica di rotazione, per cui arriva a fine piano in un tempo maggiore e con velocità e accelerazione minori che se dovesse scivolare senza attrito.
Ci domandiamo: a parità di inclinazione del piano e di percorso, cilindri di massa diversa e di diverso raggio, arriverebbero con la stessa velocità e accelerazione e nello stesso tempo, oppure no ?

La risposta ci viene offerta dal principio di conservazione dell'energia:

ponendo DU =mgh= DKt + DKr = 1/4 m r2 v2 / r2 + 1/2 m v2 =3/4 m v2 si ottengono le relazioni che esprimono le tre grandezze v, a, e t nel rotolamento in assenza di attrito, qui di seguito riportate.

a) b) c)

dove a è l’angolo formato dal piano di rotolamento col piano orizzontale e h è il dislivello. Si vede che tutte queste tre grandezze sono indipendenti sia dalla massa m che dal raggio r del cilindro. Potrai averne conferma eseguendo la seguente operazione.

  1. Perchè la palla che rotola sul piano accelera più di quella che rotola sulla guida ? (Osserva che, rotolando su una guida, il raggio di rotazione r’ è < r. Ne consegue che il momento d’inerzia è minore che non sul piano, per cui minore è pure la parte di energia potenziale che si trasforma in energia cinetica di rotazione).
  2. Perchè quando la palla transita dalla guida al piano di gomma accelera ? (Osserva che appena prima di lasciare la guida la sua velocità angolare w=v/r' è maggiore della velocità angolare w=v/r che dovrebbe avere per rotolare sul piano senza scivolare con velocità traslazionale pari a v)